Loi fondamentale de statique des fluides [MDF]

Loi fondamentale de statique des fluides

On considère un fluide en statique de masse volumique ρ dans un réservoir ouvert à l’atmosphère. Supposons un petit élément de volume d’un fluide incompressible. Cet élément de volume à la forme d’un parallélépipédique avec les dimensions dx, dy et dz (Voir la figure II.5).

Figure II. 5. *Forces agissant sur un élément fluide* | Informations^[1]

Comme déjà montre précédemment, un fluide en équilibre les forces de frottement entre les molécules de fluide sont nulles il n’y a que les forces de pression et de poids.

Les forces de pression F₁ et F₂ suivants la direction Z, qui s’appliquent respectivement sur les deux surfaces de l’élément fluide A₁ et A₂ sont :

\begin{matrix} F_{1} = P (z) . dx . dy \\ F_{2} = P (z + dz) . dx . dy \end{matrix}

Ainsi, la force de poids (de gravité) de l’élément parallélépipédique du fluide est :

$G = m . g = ρ . dV = ρ . g . dx . dy . dz$

D’après la deuxième loi de Newton, le l’élément fluide est en équilibre si la force résultante agissant sur l’élément fluide est égale à zéro :

$\begin{matrix} \sum \vec{F} = \vec{0} \\ \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{G} = 0 \end{matrix}$

La projection de la force résultante agissant sur l’élément fluide sur l’axe Z est :

P (z) . dx . dy - P (z + dz) . dx . dy - ρ . g . dx . dz . dy = 0

Si on divise tous les termes de l’équation (II-10) par dx et dy, on obtient :

$P (z) - P (z + dz) - ρ . g . dz = 0$

Puisque dz est infiniment petit, nous pouvons effectuer un développement limité au premier ordre de P(z + dz) comme suit :

$P (z + dz) = P (z) + \frac{\partial P}{\partial z} dz + .. .$

On trouve alors :

$P (z) - P (z) - \frac{\partial P}{\partial z} dz - ρ . g . dz = 0$

Après réarrangement, en divisant tous les termes de l’équation précédente par dz, on obtient :

\frac{\partial P}{\partial z} = - ρ . g

De la même manière, on obtient les équations d’équilibre suivant les axes X et Y :

\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \frac{\partial P}{\partial y} = 0

Lorsqu’un fluide en équilibre, les forces de pression du fluide sont égales au poids de fluide. À partir des équations (II-11) et (II-12), on peut en déduire que :

\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \frac{\partial P}{\partial z} = - ρ . g

On peut écrire l’équation (III-13) sous la forme suivante :

\begin{matrix} \vec{\nabla} = - ρ . g \\ \vec{grad} (P) = - ρ . g \end{matrix}

L’équation (II-13) est appelée l’équation fondamentale de l’hydrostatique (Équation d’Euler). Cette équation montre que la pression ne dépend pas de x ou de y c’est-à-dire elle est constante dans le plan horizontal. Ainsi, la pression dans un fluide au repos est indépendante de la forme ou de la section du réservoir et la quantité du fluide. Elle change avec la profondeur verticale et le poids spécifique du fluide concerné, mais reste constante dans les autres directions (Voir figure II.6).

Figure II. 6. La variation de pression dans un fluide au repos | Informations^[2]

Conseil :

D’autre part, lorsque la pression est variée avec un seul variable z, on peut écrire l’équation (II-11) sous la forme suivante :

\frac{dP}{dz} = - ρ . g

L’équation (II-14) montre que la variation de pression dP dans un fluide entre deux points est proportionnelle à la variation de profondeur verticale dz entre les deux points et le poids spécifique du fluide (γ = ρg).

Cas d’un fluide incompressible

Dans ce cas, les fluides sont des liquides tels que l’eau, l’huile, le mercure, etc. Pour un fluide incompressible, la masse volumique est considérée comme constante, l’intégration de l’équation (II-14) entre deux points (1) et (2) de fluide au repos, donne :

\begin{matrix} \int_{1}^{2} dP = - ρ . g \int_{1}^{2} dz \Rightarrow P_{2} - P_{1} = - ρ . g (z_{2} - z_{1}) \\ \Rightarrow P_{1} = P_{2} + ρ . g . h \end{matrix}

Si le point (2) situé sur la surface libre d’un fluide ouvert à l’atmosphère où la pression est atmosphérique (P₂ = P_atm). La pression P₁ à une profondeur h à partir de la surface libre devient :

$P_{1} = P_{atm} + ρ . g . h$

Cas d’un fluide incompressible non-miscibles superposés

Dans ce cas, des fluides incompressibles non-miscibles superposés comme illustres dans la figure II.7. La pression au fond de réservoir P₁ est déterminée à partir du point (2) qui se trouve sur la surface libre où la pression P₂ = P_atm, ensuite continuer à ajoutant la quantité ρgh de chaque fluide jusqu’au point (1). On obtient :

$P_{1} = P_{atm} + ρ_{1} . g . h_{1} + ρ_{2} . g . h_{2}$

Figure II. 7. La pression dans les fluides non-miscibles superposés | Informations^[3]

Cas d’un fluide compressible

Dans ce cas, les fluides sont des gaz tels que l’air, l’oxygène, l’azote, etc. La masse volumique de ces fluides est variée de façon significative avec la hauteur. L’intégration de l’équation (II-14) entre deux points (1) et (2) de fluide au repos, donne :

$\int_{1}^{2} dP = - \int_{1}^{2} ρ . g . dz$

Rappel :

D’autre part, la masse volumique d’un gaz parfait est liée directement aux variations de pression et de température à travers l’équation suivante :

$ρ = \frac{P}{R . T} . M$

Où :

R : la constante des gaz parfaits sa valeur est égale 8.314 J/K.mol,

T : la température en kelvin (K),

M : la masse molaire du gaz en kg/mol.

On remplaçant la masse volumique du gaz parfait dans l’expression de variation de pression, donne :

$\int_{1}^{2} dP = - \int_{1}^{2} . \frac{P}{R . T} . M . g . dz$

Si la température T est constante (isotherme), l’équation précédente devient :

$\int_{1}^{2} . \frac{dp}{P} = \frac{- M . g}{R . T} \int_{1}^{2} dz$

Après l’intégration de l’équation précédente, on obtient :

$P_{2} = P_{1} . e^{\frac{- M . g}{R . T} (z_{2} - z_{1})}$