Mécanique des Fluides

Considérons un venturi-mètre placé dans une conduite circulaire (ou tube) horizontale dans laquelle s’écoule un fluide supposé parfait et incompressible (par exemple l'eau), comme indiqué sur la figure III.5. Le fluide s’écoule à travers la section A₁ à une vitesse U₁ avant d’atteindre la partie convergente où la section A₂ < A₁ impliquer une vitesse U₂ > U₁. D’après l’équation de continuité, le débit volumique Q_v est conservé entre les deux sections (1) et (2), on obtient :

$\begin{array}{c}{Q}_v=Q_{v1}=Q_{v2}\\ Q_v=A_1\mathrm{.}{U}_1=A_2\mathrm{.}{U}_2\end{array}$

On peut ensuite appliquer l'équation de Bernoulli entre les deux points d’une même ligne de courant (1) et (2), on trouve :

$\frac{P_1}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_1^2}{2.g}+z_1=\frac{P_2}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_2^2}{2.g}+z_2$

Comme la conduite est horizontale, on a z₁ = z₂.

$\frac{P_1}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_1^2}{2.g}=\frac{P_2}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_2^2}{2.g}\Rightarrow P_1-P_2=\rho \mathrm{.}\frac{U_2^2-U_1^2}{2}$

Par conséquent, la variation de pression entre les deux points est P₁ – P₂ = ρgh, en remplaçant cette valeur dans l’équation précédente, on obtient :

$\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}h=\rho \mathrm{.}\frac{U_2^2-U_1^2}{2}\Rightarrow 2.g\mathrm{.}h=U_2^2-U_1^2$

On peut alors introduire le débit volumique aux points (1) et (2) est Q_v = A₁U₁ = A₂U₂, pour exprimer :

$\begin{array}{c}{U}_1=\frac{Q_v}{A_1}\\ U_2=\frac{Q_v}{A_2}\end{array}\Rightarrow U_2^2-U_1^2=Q_v^2(\frac{1}{A_1^2}-\frac{1}{A_2^2})=2.g\mathrm{.}h$

Enfin, le débit volumique qui traverse la conduite est donné par la relation suivante :

Par contre, les vitesses moyennes d’écoulement au niveau des points (1) et (2) :

Considérons un fluide parfait, incompressible et en régime permanent dans une canalisation et un tube de Pitot plongé dans le fluide. L’extrémité inférieure de tube est orientée parallèlement dans le sens inverse à la direction de l’écoulement. Par contre, l’autre extrémité de tube Pitot est exposée à la pression atmosphérique comme le montre la figure III.8. Le fluide monte dans le tube à une certaine hauteur, h en raison de la conversion de l'énergie cinétique en énergie de pression. La vitesse est déterminée en mesurant la hauteur du fluide dans le tube.

Considérons deux points (1) et (2) au même niveau de telle manière que le point (2) est situé au niveau de l’orifice de tube inférieur (point d’arrêt) et que le point (1) est situé loin du tube.

L’application de l'équation de Bernoulli le long d’une même ligne de courant, entre (1) et (2) donne :

$\frac{P_1}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_1^2}{2.g}+z_1=\frac{P_2}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_2^2}{2.g}+z_2$

Les deux points (1) et (2) étant à la même hauteur, on a z₁ = z₂, et le fluide à l’intérieur de tube est au repos, où la vitesse est nulle U₂ = 0, on obtient :

$\frac{P_1}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_1^2}{2.g}=\frac{P_2}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_2^2}{2.g}+z_2$

Ainsi, les pressions de deux points (1) et (2) sont :

$\begin{array}{c}{P}_1=P_{\mathit{atm}}+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}H\\ P_2=P_{\mathit{atm}}+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}(H+h)\end{array}$

En remplaçant ces valeurs de P₁ et P₂, dans l’équation précédente, on obtient :

$\frac{P_{\mathit{atm}}+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}H}{\rho \mathrm{.}g}+\frac{U_1^2}{2.g}=\frac{P_{\mathit{atm}}+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}(H+h)}{\rho \mathrm{.}g}\Rightarrow H+\frac{U_1^2}{2.g}=H+h\Rightarrow U_1=\sqrt{(2.g\mathrm{.}h)}$

L’expression de la vitesse réelle dans d’un tube Pitot est présentée par la relation suivante :

Où :

C_v : le coefficient de vitesse sa valeur est variée entre 0.95 et 0.99. Dans le cas, général C_v = 0.98.