## Relation d'ordre

Soient \(R\) une relation binaire dans l'ensemble \(E\) et \(x,y,z \in E\), on dit que \(R\) est une relation d'ordre si :

1. Réflexive : \((\forall x \in E), (xRx)\).

2. Antisymétrique : \((\forall x \in E),(\forall y \in E),((xRy) \land (yRx)) \Rightarrow (x = y)\).

3. Transitive : \((\forall x,y,z \in E),((xRy) \land (yRz)) \Rightarrow (xRz)\).

### Exemple :

\(A \subset E, B \subset F, ARB \Leftrightarrow A \subset B\) est une relation d'ordre, en effet :

1. \(\forall A \subset E, A \subset A \Leftrightarrow R\) est réflexive.

2. \(\forall A,B \in E,((A \subset B) \land (B \subset A)) \Rightarrow A=B \Leftrightarrow R\) est antisymétrique.

3. \(\forall A,B,C \in E,((A \subset B) \land (B \subset C)) \Rightarrow A \subset C \Leftrightarrow R\) est transitive.

### Définition :

Une relation d'ordre dans un ensemble \(E\) est dite d'ordre total si deux éléments quelconques de \(E\) sont comparables, \(\forall x,y \in E\), on a \(xRy\) ou \(yRx\). Une relation d'ordre est dite d'ordre partiel si elle n'est pas d'ordre total.

### Définition : Classe d'équivalence.

Soit \(R\) une relation d'équivalence, on appelle classe d'équivalence d'un élément \(x \in E\) l'ensemble des éléments \(y \in E\) qui sont en relation \(R\) avec \(x\) on note \(C_x\), où \(x = C_x = \{y \in E/xRy\}\).

### Remarque :

L'ensemble des classes d'équivalence d'éléments de \(E\) est appelée ensemble quotient de \(E\) par \(R\), il est noté \(E/R\), \(E/R = \{C_x/x \in E\}\).