## TD N° : 2 Ensembles, Relations binaires et Applications

### Exercice 1.

Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes et justifier vos réponses :

1. \(\{9\} \cup \{9\} = \{(9,9)\}\).

2. \(\{6\} - \{6\} = \{0\}\).

3. \(\{3\} \times \{8\} = \{24\}\).

4. \(\varnothing \subset \{\varnothing\}\).

### Exercice 2.

1. Soient \(A = \{\{a\},\{b\}\} et B = \{\{a\},\{a,b\}\}.\)

   - Décrire les ensembles : \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(B \setminus A\), \(A \triangle B\)

   - Remplacer les points... par l'un des symboles : \(\in, \subset, \notin, \not \subset\).

     \(\{a\} ... A \cap B, \{\{b\}\} ... A \cup B, \{a\} ...B \setminus A, \{a,b\} ... A \triangle B, \{\{a\}\} ... A \triangle B\).

2. Soient \(A, B\) et \(C\) trois sous-ensembles d'un ensemble \(E\).

   - Montrer que : ( Lois de Morgan)

     1. \(\overline{\bar{A}} \cap \bar{B}\)

        \(\overline{A \cup B} \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}\}\)

        Où \(\bar{A}\) désigne la complémentaire de \(A\) dans \(E\).

     2. \(A \subset B \Longrightarrow \bar{B} \subset \bar{A}\).

   - Simplifier les ensembles suivantes :

     \(\overline{(A \cup B)} \cap \overline{(C \cup \bar{A})}, \overline{(A \cap B)} \cup \overline{(C \cap \bar{A})}\).

### Exercice 3.

Soient \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles d'un ensemble \(E\). On rappelle que l'on note : \(A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\).

1. Montrer que :

   - \(A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\).

   - \((A \cap B) \cap \overline{(A \cap C)}=A \cap B \cap \bar{C}.\)

     \((A \cap C) \cap \overline{(A \cap B)}=A \cap C \cap \bar{B}.\)

2. En déduire que :

   \((A \cap B) \triangle(A \cap C)=A \cap(B \triangle C)\).

### Exercice 4.

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(A, C\) deux parties de \(E\), et \(B ,D\) deux parties de \(F\). On veut montrer que :

\((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D).\)

### Exercice 5.

1. On considère la relation binaire \(R\) définie sur \(\mathbb{Z}\) par :

   \( \forall (x, y) \in \mathbb{Z}^2, xRy \Leftrightarrow x - y \text{ est un multiple de } 3.\)

   - Montrer que \(R\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{Z}\) .

   - Déterminer l'ensemble quotient \(\mathbb{Z}/R\).

   - Montrer que :

     \(\dot{7} = \dot{4}.\)

2. Soit \(\leq\) la relation binaire sur \(\mathbb{N}^*\) définie par :

   \(x \leq y \Leftrightarrow x \text{ divise } y.\)

   - Montrer que \(\leq\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{N}^*\).

   - L'ordre est-il total ?

### Exercice 6

1. Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) et \(A\) et \(B\) deux partie de \(E\). Montrer que :

   \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\)

2. Soit l'application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par : \( f(x) = x^2\) . On considère les ensembles \( A = [-2,1] et B = [0,3]\) .

   - Comparer les ensembles \(f(A \cap B)\) et \(f(A) \cap f(B)\) .

   - Quelle condition doit vérifier \(f\) pour que : \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\) .