## Les quantificateurs

1. Quantificateur universel "\( \forall\)"

   La relation pour tous \(x\) tel que \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) est notée : \(\forall x, P(x)\) se lit quel que soit \(x, P(x)\).

2. Quatificateur existentiel "\(\exists\)"

   La relation il existe un \(x\) tel que \(P(x)\) est notée: \(\exists x, P(x)\).

### Remarque :

Il existe[1] un et un seul élément \(x\) de \(E\) c'est à dire un unique \(x\), \(P(x)\) est notée : \(\exists ! x \in E, P(x)\)

### Exemple :

1. L'assertion " \(\forall x \in \mathbb{R}: x^{2} \geqslant 0\) " est vraie car pour tout réel \(x\), on a : \(x^{2}\) est positif.

2. \(P(x)\) : la fonction \(f\) s'annule en \(x_{0}\) devient

   \(P(x): \exists x_{0} \in \mathbb{R}, f\left(x_{0}\right)=0 .\)

### Régles de négations

1. La négation[2] de \(\forall x \in E, P(x)\) est : \(\exists x \in E, \bar{P}(x)\).

2. La négation de \(\exists x \in E, P(x)\) est : \(\forall x \in E, \bar{P}(x)\).

## Notes

1. 6

   C.Baba Hamed, K.Benhabib, Algèbre 1: rappels de cours et exercices avec solutions, OPU (1992)

2. 8

   F.Cottet-Emard, Analyse tome 1 cours et exercices corrigés, DeBoeck, Bruxelles (2005).