## Corrigé TD N° : 1 Logiques et Raisonnement

### Correction de l'exercice 1

1. \(P\) | \(Q\) | \(\bar{P}\) | \(\bar{Q}\) | \(P \wedge Q\) | \(\overline{P \wedge Q}\) | \(\overline{P \vee \bar{Q}}\)
   V | V | F | F | V | F | F
   V | F | F | V | F | V | V
   F | V | V | F | F | V | V
   F | F | V | V | F | V | V

2. \(P\) | \(Q\) | \(\bar{P}\) | \(\bar{Q}\) | \(P \vee Q\) | \(\overline{P \vee Q}\) | \(\bar{P} \wedge \bar{Q}\)
   V | V | F | F | V | F | F
   V | F | F | V | V | F | F
   F | V | V | F | V | F | F
   F | F | V | V | F | V | V

### Correction de l'exercice 2

1. \(((5-2=7) \wedge(1+3 \leq 0)) \vee \overline{(5 \times 6=11)}\)

   \(\overline{(5 \times 6=11)}\) c-à-d: \((5 \times 6 \neq 11)\) (cette proposition est vraie)

   \(5-2=7\) | \(1+3 \leq 0\) | \((5-2=7) \wedge(1+3 \leq 0)\) | \(\overline{5 \times 6=11}\) | \((A) \vee(B)\)
   F | F | F | V | V
   |  | A | B |

   Donc : est une proposition vraie.

   La négation de (1) est : \(((5-2 \neq 7) \vee(1+3>0)) \wedge(5 \times 6=11)\)

2. L'inéquation \(2x + y > 0\) est vraie car \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \(\exists y = -2x + 1\in \mathbb{R} :2x + y > 0\)

   La négationde de (2) est : \(\exists x \in \mathbb{R} ,\forall y \in \mathbb{R}\): \(2x + y \leq 0\).

3. \(\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0\).

   Cette assertion est fausse car sa négation qui est :

   \(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x+y \leq 0\) est vraie. Par exemple, on peut prendre \(x=-5\) et \(y=2\) et alors \(-5+2=-3 \leq 0\).

4. \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y^{2}>x\). Cette assertion est vraie. Car : \(\exists x=-1 \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y^{2}>-1\).

   La négationde de (4) est : \(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: y^{2} \leq x\).

5. \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0\).

Cette assertion est fausse car sa négation qui est :

\(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x+y \leq 0\) est vraie. Étant donné \(x \in \mathbb{R}\) il existe toujours un \(y \in \mathbb{R}\) tel que \(x+y \leq 0\). Par exemple on peut prendre \(y=-(x+1) \in \mathbb{R}\) et alors \(x+y=x-x-1=-1 \leq 0\).

### Correction de l'exercice 3

En utilisant \(P(n)\), on obtient :

\(\begin{align*}&13 + 23 + \ldots + (n + 1)^3 \\&= 13 + 23 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 \\&= \frac{n^2(n + 1)^2}{4} + \frac{4(n + 1)^3}{4} + (n + 1)^3 \\&= \frac{(n + 1)^2(n^2 + 4n + 4)}{4} \\&= \frac{(n + 1)^2(n + 2)^2}{4}.\end{align*}\)

Ainsi, \(P(n + 1)\) est vraie, alors \(\forall n \in \mathbb{N} : 8n^2 \in \mathbb{N} : 13 + 23 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\).