## TD N° : 1 Logiques et Raisonnement

### Exercice 1.

En utilisant[1] laTV[2] montrer les "lois de Morgan" :

1. \(\overline{P \wedge Q} \Longleftrightarrow \bar{P} \vee \bar{Q}\).

2. \(\overline{P \vee Q} \Longleftrightarrow \bar{P} \wedge \bar{Q}\).

### Exercice 2.

- Les assertions[1] suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier vos réponses.

  1. \(((5-2=7) \wedge(1+3 \leq 0)) \vee \overline{(5 \times 6=11)}\)

  2. \(\forall x \in \mathbb{R} , \exists y \in \mathbb{R}\): \(2x + y > 0\).

  3. \( \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0.\)

  4. \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y^{2}>x.\)

  5. \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0.\)

- Donner leur négation.

### Exercice 3.

Montrons que : \(13 + 23 + \ldots + (n + 1)^3 = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\) est vraie.

## Notes

1. 2

   Cours de mathématiques 1, Mounira Melki, UFM, 2023-2024.

2. TV : table de vérité