## Méthodes du raisonnement par la contraposée

Sachant que \((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow(\bar{Q} \Rightarrow \bar{P})\), pour montrer que \(P \Rightarrow Q\) on utilise la contraposée, c'est à dire il suffit de montrer que \(\bar{Q} \Rightarrow \bar{P}\) de manière directe, on suppose que \(\bar{Q}\) est vraie et on montre que \(\bar{P}\) est vraie.

### Exemple :

Soit \(n \in \mathbb{N}\), montrer que si \(n^{2}\) est pair alors \(n\) est pair. Démonstration : On cherche à montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(n^{2}\) est pair \(\Longrightarrow n\) est pair. En fait, le raisonnement direct de cette implication est trés difficile. Pour ce motif, on va montrer par la contraposée. On suppose que $n$ est impair et on montre que \(n^{2}\) est impair. On a :

\(\begin{aligned}n \text { est impair } & \Longrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: n=2 k+1 . \\& \Longrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: n^{2}=(2 k+1)^{2} \\& \Longrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: n^{2}=4 k^{2}+4 k+1 . \\& \Longrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: n^{2}=2\left(2 k^{2}+2 k\right)+1 . \\& \Longrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: n^{2}=2 k^{\prime}+1\left(\text { avec } k^{\prime}=2 k^{2}+2 k\right) \\& \Longrightarrow n^{2} \text { est impair. }\end{aligned}\)

En définitive :

Si \(n^{2}\) est pair alors \(n\) est pair.