## Test final du module mathématiques 1

Soit \(f\) et \(g\) les deux applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définies par :

\( f(x) = 2x \quad \text{et} \quad g(x) = x^2.\)

### Exercice

On considère l'ensemble \(A = [0, 3]\), l'image directe de \(A\) par \(f\) est

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \([1 ,6]\).

- \([0 ,6]\)

- \([1 ,3]\)

### Exercice

L'image réciproque de \(A\) par \(g\) est

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \([0 ,9]\)

- \([0 ,\sqrt{3}]\)

- \([-\sqrt{3} ,\sqrt{3}]\)

- \([ A,\sqrt{3}]\)

### Exercice

La fonction \(f\) est-elle bijective ?

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- Oui

- Non

### Exercice

Posons \(h = g \circ f\).

choisi la bonne réponse :

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \(h(x)=2x^{2}\).

- \(h(x)=4x^{2}\).

### Exercice

Calculer \(h(\dfrac{1}{2})\)

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \(\dfrac{1}{2}\)

- \(2\)

- \(1\)

- \(-1\)

### Exercice

Calculer \(h(\dfrac{-1}{2})\)

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \(\dfrac{1}{2}\)

- \(2\)

- \(1\)

- \(-1\)

### Exercice

Calculer \(h^{-1}(-1)\)

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \(-1\)

- \(\emptyset\)

- \(0\)

### Exercice

La fonction \(h\) est-elle

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- Elle est injective mais pas surjective ni bijective.

- Oui, elle est injective, surjective et bijective.

- Non, elle n'est ni injective, ni surjective, ni bijective.

### Exercice

La fonction \(g\) est-elle bijective ?

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- Oui

- Non

### EXO1-1 test final

Répondez par vrai ou faux au assertion suivante et justifier vos réponses :

1. \(\overline{P \Longrightarrow Q} \Longleftrightarrow P \wedge \bar{Q}\).

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- Vrai

  Justification :

  En utilisant la table de vérité

  \(P\) | \(Q\) | \(\bar{Q}\) | \(P \wedge \bar{Q}\) | \(P \Rightarrow Q\) | \(\bar{P \Rightarrow Q}\)
  V | V | F | F | V | F
  V | F | V | V | F | V
  F | V | F | F | V | F
  F | F | V | F | V | F

- Faux

### EXO1-2 test final

Répondez par vrai ou faux on assertions suivante et justifier vos réponses :

\(\forall n\in \mathbb{N} : n^{2}+1\) esr premier.

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- Vrai

- Faux

  Justification : Il faut montrer que sa négation " \(\exists n\in \mathbb{N} : n^{2}+1\)" n'est pas premier est vraie.

  En effet , \(\exists n=3\in \mathbb{N} : 3^{2}+1=10\) n'est pas premier est vraie.

### EXO1-3 test final

Répondez par vrai ou faux au assertion suivante et justifier vos réponses :

\(A\times B=B\times A\) ou \(A ,B\) sont deux parties d'un ensemble \(E\).

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- Vrai

- Faux

  Justification : Par définition on a :

  \(A\times B=\{ (a,b) | a\in A , b\in B\}\).

  Et

  \(B\times A=\{ (b,a)| b\in B,a\in A \}\).

  Comme \((a,b)\neq(b,a)\)

  Ainsi \(A\times B\neq B\times A\)

### EXO2-1 test final

Soit \(\mathbf{R}\) une relation d'équivalence sur un ensemble \(X\). Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \(\mathbf{R}\) est symétrique

- \(\mathbf{R}\) est anti-symétrique.

- \(\mathbf{R}\) est réflexive.

- \(\mathbf{R}\) est transitive.

- Aucune des affirmations ci-dessus.

### EXO2-2test final

On considère la relation d'équivalent \(\mathbf{R}\) définie sur \(\mathbb{R^{*}}\) par

\(\forall x,y\in\mathbb{R^{*}} : x\mathbf{R}y \Leftrightarrow y(x^{2}+1)=x(y^{2}+1)\).

Q :Déterminer (\(\dot{3}\)la classe d'équivalence de \(3\))

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- \(\dot{3}=\{ 1 ,3\}\)

- \(\dot{3}=\{ 3,\dfrac{2}{3}\}\)

- \(\dot{3}=\{ 1,\dfrac{3}{2}\}\)

- \(\dot{3}=\{ 3,\dfrac{1}{3}\}\)

### Exercice

Remplissez le tableau suivant :

\(P\) | \(Q\) | \(\bar{P}\) | \(\bar{Q}\) | \(P \Rightarrow Q\) | \(\bar{P \Rightarrow Q}\) | \(P \wedge \bar{Q}\) | \(\overline{P \vee Q}\) | \(\bar{P} \wedge \bar{Q}\)
V | V | F | F | V | F | F | F | F
V | F | F | V | F | V | V | F | F
F | V | V | F | V | F | F | F | F
F | F | V | V | V | F | F | V | V

### Exercice

Pour démontrer " \(\forall n \in \mathbb{N}: n^{2}+1\) est premier" est fausse, en utilisant :

#### Votre choix Choix attendu Réponse

- Méthode de raisonnement direct

- Méthode du raisonnement par la contraposée

- Raisonnement par récurrence

- Raisonnement par l'absurde

- Contre exemple

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