## Forces de pression hydrostatiques

Lorsqu’un corps est immergé dans un fluide, des forces se développent sur la surface du corps à cause du fluide. La détermination de ses forces est importante dans la conception des réservoirs de stockage, des navires, des barrages et d’autres structures hydrauliques. Ces forces de fluide sont toujours perpendiculaires aux surfaces sur lesquelles elles agissent. On distingue trois cas de surfaces immergées dans les fluides :

- Surface plane (verticale, horizontale, inclinée),

- Surface courbure (cylindre, sphère) la force de pression hydrostatique consiste à déterminer les deux composantes verticale et horizontale de la force résultante FT,

- Surface gauche (forme quelconque) : la force de pression hydrostatique consiste à déterminer les trois composantes (FX, FY, FZ) de la force résultante FT.

### Force hydrostatique sur une surface plane

#### L’intensité de la force de pression totale

Considérons une plaque plane de géométrie quelconque de surface A. Elle est immergée totalement dans un fluide incompressible de masse volumique ρ. La plaque est inclinée d’un angle θ quelconque par rapport à la surface libre du fluide ; c’est-à-dire par rapport à l’horizontale et son centre de gravité est G. Ainsi, elle est soumise à la force de pression du fluide F1 et la force de milieu extérieur F2 voir la figure II.11.

Figure II. 11. Forces hydrostatiques sur une surface plane | Informations[1]

L’intensité de la force de pression totale FT est égale la somme des forces qui agissants sur toute la surface plane (les forces de deux côtés intérieure F1 et extérieures F2).

F T = F 1 − F 2 F_{T}= F_{1}- F_{2}

Dans le côté intérieur, la force de pression élémentaire dF1 agissant sur un élément infiniment petit d’aire dA, à une profondeur h et à une distance y de l’axe OY est :

dF 1 = P . dA = ( P atm + ρ . g . h ) . dA = ( P atm + ρ . g . y . sin ( θ ) ) . dA dF_{1}=P.dA=(P_{atm}+%rho .g.h).dA = ( P_{atm}+%rho .g.y.sin(%theta) ).dA

Pour trouver la force de pression totale F1 agissant sur toute la surface de la plaque A, il suffit d’intégrer dF1 sur cette surface :

F 1 = ∫ A ( P atm + ρ . g . y . sin ( θ ) ) . dA F 1 = P atm . A + ρ . g . sin ( θ ) ∫ A dA binom{F_{1}= int from{A} ( P_{atm}+%rho .g.y.sin(%theta) ).dA}{ F_{1}=P_{atm}.A+%rho .g.sin(%theta) int from{A} dA }

Avec :

∫ A y . dA = ∫ x dx . ∫ y dy = x . 1 2 y 2 = y 2 . x . y = y ¯ . A int from{A} y.dA= int from{x} dx. int from{y} dy=x. {1} over {2} y^{2} = {y} over {2}.x.y= bar y .A

Où :

A : la surface totale de la plaque en contact avec le fluide,

y ¯ bar y : la distance suivant l’axe y jusqu’au le centre de gravité de la plaque G.

F 1 = P atm . A + ρ . g . A . y ¯ . sin ( θ ) F_{1}= P_{atm}.A+%rho . g.A. bar y .sin( %theta )

Où : h ¯ = y ¯ . sin ( θ ) bar h =bar y .sin( %theta )

F 1 = P atm . A + ρ . g . A . h ¯ F_{1}= P_{atm}.A+%rho . g.A. bar h

Par ailleurs, dans le côté extérieur de la plaque la force de pression totale F2 agissant sur toute la surface de la plaque A, est :

F 2 = P atm . A F_{2}= P_{atm}.A

La force hydrostatique FT (force de pression) agissant sur toute la surface de la plaque plane est :

F T = F 1 − F 2 F_{T}= F_{1}- F_{2}

Avec :

F T = P atm . A + ρ . g . A . h ¯ − P atm . A F_{T}= P_{atm}.A+%rho . g.A. bar h - P_{atm}.A

Dans la plupart des cas, le côté extérieur de la plaque est ouvert à l'atmosphère, et donc la pression atmosphérique agit sur les deux côtés (intérieure et extérieure) de la plaque, donnant une résultante nulle. À cet effet, la force hydrostatique FT est :

F T = ρ . g . A . h ¯ F_{T}= %rho . g.A. bar h

Où :

ρ : la masse volumique de fluide en kg/m3,

g : l’accélération de la pesanteur m/s2,

h ¯ bar h : la distance verticale entre la surface libre du fluide et le centre de gravité G de la plaque (la profondeur de centre de gravité de la plaque) en m.

##### Remarque :

1. La force de pression hydrostatique agissant sur une surface plane est indépendante de l’angle θ. Elle dépend uniquement du poids spécifique du fluide, de la surface immergée et de la profondeur du centre de gravité de la plaque,

2. La force de pression hydrostatique est égale la pression au centre de gravité de la plaque multiplié par la surface immergée de la plaque,

3. Le sens de la force hydrostatique est toujours perpendiculaire à la surface plane (force normale).

#### Centre de poussée

La force de pression hydrostatique FT n’agissant pas au centre de gravité, G de la plaque, mais à un point appelé centre de poussée ou de pression (ycp). Le centre de poussée ycp de la force hydrostatique sur les surfaces plane est présenté par l’équation suivante :

y cp = I GX y G . A . y G y_{cp}= { I_{GX}} over { y_{G}.A} . y_{G}

Où :

ycp : le centre de poussée en m,

yG : la distance suivant l’axe y de centre de gravité en m,

A : la surface de la plaque en contact avec le fluide en m2,

IGX : le moment d’inertie de la plaque par rapport à l’axe x en m4.

Le tableau II.1 montre les moments d’inertie et autres propriétés géométriques de quelques surfaces planes couramment utilisées :

Tableau II. 1. Moments d’inertie pour quelques surfaces planes usuelles | Informations[2]

## Notes

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