## Équation de Bernoulli

L’équation de Bernoulli sur une ligne de courant est obtenue en intégrant l’équation de mouvement d’Euler (Voir l’équation III-11) comme suit :

∫ dP ρ + ∫ g . dz + ∫ U . dU = E int {dP} over {%rho} + int g. {dz} + int U. {dU} = E

Où :

E : constant (le long d’une ligne de courant),

### Conseil :

Dans le cas du fluide incompressible, (la masse volumique ρ est constante) l’équation de Bernoulli devient :

P ρ + g . z + U 2 2 = E {P} over {%rho} + g. {z} + {U^2} over {2} = E

On peut diviser tous les termes de l’équation précédente sur l’accélération pesanteur g, on trouve :

P ρ . g + U 2 2. g + z = Cte {P} over {%rho .g} + {U^2} over {2.g} + z = Cte

P/ρg : la hauteur liée à la pression ou l’énergie de pression par unité de poids de fluide (charge de pression) en m ou J/N,

U2/2g : la hauteur liée à la vitesse ou pression cinétique ou l’énergie cinétique par unité de poids de fluide (charge dynamique) en m ou J/N,

z : la hauteur de position ou l’énergie de position par unité de poids de fluide,

((P/ρg) + z) : la hauteur piézométrique ou l’énergie potentielle par unité de poids de fluide (charge piézométrique) en m ou J/N,

H : la hauteur hydrodynamique ou l’énergie mécanique totale par unité de poids du fluide (charge totale) en m ou J/N.

### Remarque :

Dans les fluides parfaits, il n’a y pas de dissipation d’énergie, l’équation (III-13) montre que l’énergie mécanique totale par unité de poids d’un élément fluide reste constante tout au long d’une même ligne de courant. Ainsi, cette équation permet de calculer la pression, la vitesse et la hauteur sur un linge de courant d’un fluide parfait incompressible en régime permanent.

### Conseil :

On peut appliquer l’équation de Bernoulli, entre deux points d’une même ligne de courant pour un régime d’écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible sans ou avec échanger de travail.

### Cas d’un écoulement sans échange de travail

Considérons un fluide parfait se déplaçant en régime permanent dans le sens (1) vers (2) comme indiquer sur la figure III.3. Un élément fluide se trouvant initialement à la position z1 qui s’écoule le long de la ligne de courant à la position z2 sans échange de travail. C’est-à-dire, il n’y a aucune machine hydraulique (ni pompe hydraulique ni turbine hydraulique) entre les deux points (1) et (2). En appliquant l’équation de Bernoulli (équation III-11) d’une même ligne de courant entre les deux points (1) et (2). Ainsi, l’énergie mécanique totale par unité de poids du fluide, H est conservée, on a donc :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g + z 1 = H 1 = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 = H 2 = H {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} + z_{1} = H_{1}= {{ P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2} = H_{2}}=H

Figure III. 3. Application de l’équation de Bernoulli sans échange de travail [ (7)] | Informations[1]

L’équation de Bernoulli pour les fluides parfaits en régime permanent d’une ligne de courant (1) et (2) entre deux points, sans échange de travail est donnée comme suite :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g + z 1 = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} + z_{1} = { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}

### Cas d’un écoulement avec échange de travail

Dans ce cas, nous prenons les mêmes hypothèses et les mêmes notations utilisées dans le cas précédent mais avec échange de travail. En outre, on suppose qu’une machine hydraulique est placée entre les deux points (1) et (2) comme le montre sur la figure III.4.

Figure III. 4. Application de l’équation de Bernoulli avec échange de travail [ (7)] | Informations[2]

#### Complément :

Généralement, les caractéristiques d’une machine hydraulique sont la puissance délivrée par la machine au fluide, la puissance délivrée à la machine (qu’il faut fournie) et le rendement de la machine. Cette machine peut être une turbine hydraulique ou une pompe hydraulique.

#### Remarque :

- Si la machine est une pompe hydraulique (gain d’énergie) :

La puissance de la pompe hydraulique échangée avec le fluide est donnée par la relation suivante :

W p ˙ = ρ . g . Q v . h p dot W_{p}=%rho .g.Q_{v}.h_{p}

Où :

W p ˙ dot W_{p} : la puissance nette délivrée par la pompe hydraulique au fluide (reçue) en W,

hP : la charge délivrée ou l’énergie par unité de poids fournie par la pompe hydraulique en m ou J/N,

#### Complément :

D’autre part, le rendement d’une pompe hydraulique est donné par la relation suivante :

η p = W p ˙ W ˙ ' p %eta_{p} = {dot W_{p}} over {dot W'_{p}}

Où :

W ˙ ' p dot W'_{p} : la puissance délivrée à la pompe hydraulique en W.

#### Remarque :

- Si la machine est une turbine hydraulique (perte d’énergie) :

La puissance de turbine hydraulique échangée avec le fluide est donnée par la relation suivante :

W T ˙ = ρ . g . Q v . h T dot W_{T}=%rho .g.Q_{v}.h_{T}

Où :

W T ˙ dot W_{T} : la puissance nette consommée par la turbine hydraulique en W,

hT : la charge consommée ou l’énergie par unité de poids consommée par la turbine hydraulique en m ou J/N.

#### Complément :

D’autre part, le rendement de la turbine hydraulique est donné par la relation suivante :

η T = W T ˙ W ˙ ' T %eta_{T} = {dot W_{T}} over {dot W'_{T}}

Où :

W ˙ ' T dot W'_{T} : la puissance délivrée par la turbine hydraulique en W.

#### Conseil :

L’unité de la puissance dans le système internationale (SI) est le Watt, noté W défini comme un Joule par seconde J/s. Il existe aussi d’autres d’unités de puissance comme le Cheval-Vapeur (Ch).

- 1 W = 1 J/s = N.m/s,

- 1 Ch = 735.39875 W ≈ 736 W.

L’équation de Bernoulli pour les fluides parfaits en régime permanent entre deux points d’une ligne de courant (1) et (2) avec échange de travail est donnée par la relation suivante :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g + z 1 + h p = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 + h T {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} + z_{1} +h_{p}= { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}+h_{T}

## Notes

1. |
2. |