## Applications aux mesures des débits et des vitesses

L’équation de Bernoulli est appliquée dans tous les problèmes d’écoulement permanent de fluide parfait incompressible. Dans ce cours, nous appliquons cette équation à certains ces tels que : Venturi-mètre, Vidange d’un réservoir, Diaphragme (plaque à orifice) et Tube de Pitot.

### Cas d’un Venturi-mètre

Un venturi-mètre est un appareil utilisé pour mesurer le débit d’un fluide circulant dans une conduite circulaire (ou tuyau). Il est basé sur le principe de l’équation de Bernoulli et se compose de trois parties essentielles :

1. Une partie courte convergente,

2. Un col (ou gorge),

3. Une partie divergente.

#### Méthode :

Considérons un venturi-mètre placé dans une conduite circulaire (ou tube) horizontale dans laquelle s’écoule un fluide supposé parfait et incompressible (par exemple l'eau), comme indiqué sur la figure III.5. Le fluide s’écoule à travers la section A1 à une vitesse U1 avant d’atteindre la partie convergente où la section A2 < A1 impliquer une vitesse U2 > U1. D’après l’équation de continuité, le débit volumique Qv est conservé entre les deux sections (1) et (2), on obtient :

Q v = Q v 1 = Q v 2 Q v = A 1 . U 1 = A 2 . U 2 binom{Q_{v} = Q_{v1}=Q_{v2}}{Q_{v} = A_{1}.U_{1}=A_{2}.U_{2}}

Figure III. 5. Un Venturi-mètre | Informations[1]

On peut ensuite appliquer l'équation de Bernoulli entre les deux points d’une même ligne de courant (1) et (2), on trouve :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g + z 1 = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} + z_{1} = { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}

Comme la conduite est horizontale, on a z1 = z2.

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g ⇒ P 1 − P 2 = ρ . U 2 2 − U 1 2 2 {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} = { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} drarrow P_{1}- P_{2}=%rho . { U^2_{2}-U^2_{1}} over {2}

Par conséquent, la variation de pression entre les deux points est P1 – P2 = ρgh, en remplaçant cette valeur dans l’équation précédente, on obtient :

ρ . g . h = ρ . U 2 2 − U 1 2 2 ⇒ 2. g . h = U 2 2 − U 1 2 %rho .g.h= %rho . { U^2_{2}-U^2_{1}} over {2} drarrow 2.g.h= { U^2_{2}-U^2_{1}}

On peut alors introduire le débit volumique aux points (1) et (2) est Qv = A1U1 = A2U2, pour exprimer :

U 1 = Q v A 1 U 2 = Q v A 2 ⇒ U 2 2 − U 1 2 = Q v 2 ( 1 A 1 2 − 1 A 2 2 ) = 2. g . h binom{U_{1}= {Q_{v}} over {A_{1}} }{U_{2}= {Q_{v}} over {A_{2}} } drarrow { U^2_{2}-U^2_{1}}=Q^2_{v}( {1} over {A^2_{1}}- {1} over A^2_{2} )=2.g.h

Enfin, le débit volumique qui traverse la conduite est donné par la relation suivante :

Q v = 2. g . h ( 1 / A 2 2 ) − ( 1 / A 1 2 ) Q_{v}= sqrt{{2.g.h} over {( 1/A^2_{2})-(1/A^2_{1})} }

#### Attention :

En réalité, le débit volumique réel mesuré, Qr, sera inférieur à ce résultat théorique en raison des différences entre le monde réel et les hypothèses utilisées. En peu écrire le débit volumique réel, Qr, par la relation suivante [ (1)] :

Q r = C d . Q v Q_{r}=C_{d}.Q_{v}

Où :

Qr : le débit volumique réel en m3/s,

Cd : le coefficient de débit sa valeur est variée entre 0.61 et 0.65, en général la valeur de Cd est 0.62.

#### Méthode :

Par contre, les vitesses moyennes d’écoulement au niveau des points (1) et (2) :

U 1 = Q v A 1 = 2. g . h ( A 1 / A 2 ) 2 − 1 et U 2 = Q v A 2 = 2. g . h 1 − ( A 2 / A 1 ) 2 U_{1}= {Q_{v}} over {A_{1}} = sqrt{{2.g.h} over {(A_{1}/A_{2})^2-1}} et U_{2}= {Q_{v}} over {A_{2}} = sqrt{{2.g.h} over {1-(A_{2}/A_{1})^2}}

### Cas de vidange d’un réservoir (loi de Torricelli)

Considérons un réservoir de section A1, rempli d'un fluide incompressible et parfait, qui s'écoule en régime permanent à travers un orifice de section A0. Deux points (1) et (2) de telles manières que le point (1) est situé au niveau de la surface libre de fluide et que le point (2) est situé sur le jet de fluide à la sortie de l’orifice. Les deux points (1) et (2) sont exposés à la pression atmosphérique (Voir la figure III.6).

Figure III. 6. Vidange d’un réservoir | Informations[2]

Pour déterminer la vitesse et le débit volumique, on peut appliquer l'équation de Bernoulli entre les deux points d’une même ligne de courant, on obtient :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g + z 1 = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} + z_{1} = { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}

La section de jet de fluide à la sortie de l’orifice A2, est très petite par rapport à celle de réservoir A1 (A2 << A1). À cet effet, on peut négliger la vitesse de la surface libre U1 devant la vitesse à la sortie de l’orifice U2 (U1 << U2). Par ailleurs, les deux points (1) et (2) sont exposés à la pression atmosphérique donc P1 = P2 = Patm. En remplaçant ces valeurs (U1, P1 et P2) dans l’équation précédente, l’équation de Bernoulli prend la forme suivante :

P atm ρ . g + 0 + z 1 = P atm ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 U 2 2 2 = g ( z 1 − z 2 ) = g . h binom{ {P_{atm}} over {%rho .g}+ 0 + z_{1} = { P_{atm}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}}{ {U^2_{2}} over {2} =g(z_{1}-z_{2})=g.h}

Après simplification, la vitesse de vidange d’un réservoir est présentée par l’équation suivante :

U 2 = 2. g . h U_{2}= sqrt{{2.g.h}}

L’équation (III-21) montre que la vitesse de vidange est indépendante de la masse volumique de fluide [ (2)]. Par contre, elle est en fonction seulement de la distance verticale entre l’orifice et la surface libre du fluide. Cette équation est appelée la formule de Torricelli en hydraulique. Ainsi, l’équation (III-21) montre la vitesse théorique de vidange, mais en réalité la vitesse réelle sera inférieure à cette valeur. L’expression de la vitesse réelle est présentée par la relation suivante :

U r 2 = C v . U 2 = C v . 2. g . h U_{r2}=C_{v}.U_{2}= C_{v}.sqrt{{2.g.h}}

Où :

CV : le coefficient de vitesse sa valeur est variée entre 0.95 et 0.99.

### Cas d’un diaphragme

#### Définition :

Le diaphragme, c’est un appareil utilisé pour mesurer le débit du fluide à travers une conduite. Il est fonctionné selon le même principe que celui du venturi-mètre. Il est composé d’une plaque plane qui a un trou circulaire appelé orifice, qui est concentrique avec la conduite de section A0. Un manomètre différentiel pour mesure la variation de pression est placé entre les deux sections (1) et (2), comme monté la figure III.7.

Figure III. 7. Diaphragme | Informations[3]

Les expressions de débit volumique théorique et réel d’un diaphragme sont présentées par la relation suivante [ (1)] :

Q v = 2. g . h . ( ρ m ρ − 1 ) ( 1 / A 2 2 ) − ( 1 / A 1 2 ) ; Q r = C d . A 0 . A 1 = 2. g . h . ( ρ m ρ − 1 ) ( A 1 2 ) − ( A 0 2 ) Q_{v}= sqrt{{2.g.h.( { %rho_{m}} over {%rho}-1 )} over {( 1/A^2_{2})-(1/A^2_{1})} };Q_{r}=C_{d}.A_{0}.A_{1}=sqrt{{2.g.h.( { %rho_{m}} over {%rho}-1 )} over {( A^2_{1})-(A^2_{0})} }

Où :

Qr : le débit volumique réel,

A0 : la section de l’orifice,

A1 : la section de conduite,

ρm : la masse volumique de manomètre,

Cd : le coefficient de débit est très petit par rapport à venturi-mètre, il est défini comme le coefficient de vitesse Cv fois le coefficient de contraction Cc : Cd = Cv.Cc.

Le coefficient de contraction est varié entre 0.61 et 0.69, en fonction de plusieurs paramètres de l’orifice, généralement Cc = 0.64, il est défini par la relation suivante [ (8)] :

C c = A c A C_{c}= { A_{c}} over {A}

Où :

Ac : la surface de l’orifice,

A : la surface de jet de fluide à la sortie de l’orifice.

### Cas de tube de Pitot

Le tube de Pitot est un appareil utilisé pour mesurer la vitesse d’écoulement d’un fluide dans une conduite ou un canal. Il est basé sur le principe que lorsque la vitesse de l'écoulement à un point devient nulle, la pression est augmentée en raison de la conversion de l'énergie cinétique en énergie de pression. Le tube de Pitot est largement utilisé dans les avions pour mesurer la vitesse de l’air. Il existe plusieurs types de tube Pitot, la forme la plus simple, est constitué d'un tube transparent sous forme de L.

#### Méthode :

Considérons un fluide parfait, incompressible et en régime permanent dans une canalisation et un tube de Pitot plongé dans le fluide. L’extrémité inférieure de tube est orientée parallèlement dans le sens inverse à la direction de l’écoulement. Par contre, l’autre extrémité de tube Pitot est exposée à la pression atmosphérique comme le montre la figure III.8. Le fluide monte dans le tube à une certaine hauteur, h en raison de la conversion de l'énergie cinétique en énergie de pression. La vitesse est déterminée en mesurant la hauteur du fluide dans le tube.

Figure III. 8. Le tube de Pitot dans un canal simple | Informations[4]

Considérons deux points (1) et (2) au même niveau de telle manière que le point (2) est situé au niveau de l’orifice de tube inférieur (point d’arrêt) et que le point (1) est situé loin du tube.

L’application de l'équation de Bernoulli le long d’une même ligne de courant, entre (1) et (2) donne :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g + z 1 = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} + z_{1} = { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}

Les deux points (1) et (2) étant à la même hauteur, on a z1 = z2, et le fluide à l’intérieur de tube est au repos, où la vitesse est nulle U2 = 0, on obtient :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} = { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}

Ainsi, les pressions de deux points (1) et (2) sont :

P 1 = P atm + ρ . g . H P 2 = P atm + ρ . g . ( H + h ) binom{P_{1}=P_{atm}+%rho .g.H} {P_{2} = P_{atm}+%rho .g.(H+h)}

En remplaçant ces valeurs de P1 et P2, dans l’équation précédente, on obtient :

P atm + ρ . g . H ρ . g + U 1 2 2. g = P atm + ρ . g . ( H + h ) ρ . g ⇒ H + U 1 2 2. g = H + h ⇒ U 1 = ( 2. g . h ) {P_{atm}+%rho . g.H} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} = { P_{atm}+%rho .g.(H+h)} over {%rho .g} drarrow H+ { U^2_{1}} over {2.g} = H+h drarrow U_{1}=sqrt( 2.g.h )

L’expression de la vitesse réelle dans d’un tube Pitot est présentée par la relation suivante :

U r 1 = C v . U 1 = C v . 2. g . h U_{r1}=C_{v}.U_{1}= C_{v}.sqrt{{2.g.h}}

Où :

Cv : le coefficient de vitesse sa valeur est variée entre 0.95 et 0.99. Dans le cas, général Cv = 0.98.

## Notes

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