## Pertes de charges

Lorsqu’un fluide réel s’écoule dans une conduite, un canal ou d’autre voie, le fluide subit une certaine résistance qui crée une perte de partie d’énergie du fluide. Cette perte d'énergie (ou de charge) ΔHT peut être classée en deux types :

- Les pertes de charges linéaires ΔHL,

- Les pertes de charges singulières ΔHS.

Δ H T = ∑ Δ H L + Δ H s %DELTA H_T = sum %DELTA H_L + %DELTA H_s

### Pertes de charges linéaires

La perte de charge (ou d’énergie) linéaire ΔHL (régulière) qui est observée sur toute la longueur, est proportionnelle à la longueur de la conduite. Elle est engendrée par les forces de frottement entre les molécules et la paroi de la conduite et entre les molécules elles-mêmes voir la figure IV.5. Cette perte de charge est importante dans les conduites longues par rapport à la perte de charge singulière.

Figure IV. 5. Conduite circulaire horizontale uniforme | Informations[1]

Considérons un fluide réel incompressible s’écoule à travers une conduite circulaire droite. Soit 1-1 et 2-2 deux sections droites dans la conduite comme indiqué sur la figure IV.5. L’équation de Bernoulli, entre les deux sections d’une même ligne de courant pour un régime d’écoulement permanent est donnée comme suite :

P 1 ρ . g + U 1 2 2. g + z 1 = P 2 ρ . g + U 2 2 2. g + z 2 + Δ H L {P_{1}} over {%rho .g}+ { U^2_{1}} over {2.g} + z_{1} = { P_{2}} over {%rho .g} + { U^2_{2}} over {2.g} + z_{2}+%DELTA H_L

Où :

ΔHL : les pertes de charges linéaires dans la conduite.

#### Conseil :

Comme la conduite est horizontale et uniforme (section constante), on a z1 = z2, et A1 = A2 = A. Ainsi, le débit est constant dans la conduite, on a U1 = U2 = U. l’équation (IV-3) devient :

P 1 ρ . g = P 2 ρ . g + Δ H L ⇒ Δ H L = P 1 − P 2 ρ . g {P_{1}} over {%rho .g} = { P_{2}} over {%rho .g} + %DELTA H_L drarrow %DELTA H_L = {P_1-P_2} over {%rho . g}

#### Complément :

D’autre part, les forces agissant sur le fluide dans la conduite entre les deux sections 1-1 et 2-2 sont :

1. Force de pression de fluide dans le sens de l’écoulement à la section 1-1 est P1.A1 = P1.A,

2. Force de pression de fluide opposée à la direction de l’écoulement à la section 2-2 est P2.A2 = P2.A,

3. Force de frottement entre le fluide et la paroi de la conduite : F = f’.л.D.L.U2.

Le bilan des forces entre les deux sections 1-1 et 2-2 suivant l’axe de la conduite est :

P 1 . A − P 2 . A − F = 0 ( P 1 − P 2 ) . A = F = f ' . π . D . L . U 2 P 1 − P 2 = f ' . π . D . L . U 2 A stack{P_1 .A - P_2 .A -F = 0 # ( P_1-P_2 ).A = F=f'.%pi . D.L.U^2 # P_1-P_2 = {f'.%pi . D.L.U^2} over {A} }

En remplaçant l’équation précédente dans l’équation (IV-4), on obtient :

Δ H L = f ' . π . D . L . U 2 ρ . g . A %DELTA H_L = {f'.%pi . D.L.U^2} over {%rho .g.A}

Ainsi, en remplaçant la section de la conduite par A = лD2/4, on trouve :

Δ H L = 4. f ' . L . U 2 ρ . g . D %DELTA H_L = {4.f'.L.U^2} over {%rho .g.D}

En mettant (f’/ρ) = (f/2), où f est le coefficient de frottement, l’équation (IV-5), devient :

Δ H L = 4. f . L . U 2 2 . g . D %DELTA H_L = {4.f.L.U^2} over {2 .g.D}

L’équation (IV-6) est appelée équation de Darcy-Weisbach. Cette équation est couramment utilisée pour calculer la perte de charge linéaire liée au frottement dans les conduites circulaires droites. En mettant λ = 4.f l’équation (IV-6), devient :

Δ H L = λ . L . U 2 2 . g . D %DELTA H_L = { %lambda .L.U^2} over {2 .g.D}

Où :

L : la longueur de conduite en m,

λ : le coefficient de perte de charge linéaire ou coefficient de Darcy-Weisbach sans unité.

#### Coefficient de perte de charge linéaire

Le coefficient de perte de charge linéaire dépend du régime d’écoulement et en particulier du nombre de Reynolds Re :

- Si l’écoulement d’un fluide est laminaire la solution théorique (ou exacte) de coefficient de perte de charge linéaire λ, est définie par la relation de Poiseuille suivante :

λ = 64 R e %lambda = {64} over {R_e}

- Si l’écoulement d’un fluide est turbulent, il n’existe pas une relation exacte entre le coefficient de perte de charge linéaire λ, et le nombre de Reynolds Re. D’autre part, les formules expérimentales le plus utilisées pour trouve le coefficient λ, sont :

  1. Formule proposée par Von Karman (parois lisses voir la figure IV.6) :

1 ( λ ) = − 2. log ( 2.51 R e . ( λ ) ) {1} over {sqrt(%lambda)} =-2.log( {2.51} over {R_e .sqrt(%lambda)} )
Figure IV. 6. Écoulement dans une p aroi lisse | Informations[2]

2. Formule proposée par Nikuradse (parois rugueuses voir la figure IV.7) :

1 ( λ ) = − 2. log ( ε 3,7. D ) {1} over {sqrt(%lambda)} =-2.log( { %varepsilon } over {3,7.D} )

Où :

ε : la rugosité absolue équivalente de la paroi en mm,

D : le diamètre de la conduite en mm.

Figure IV. 7. Écoulement dans une paroi rugueuse | Informations[3]

3. Formule proposée par Colebrook (parois lisses et rugueuses) :

1 ( λ ) = − 2. log ( ε 3,7. D + 2.51 R e . ( λ ) ) {1} over {sqrt(%lambda)} =-2.log( { %varepsilon } over {3,7.D} + {2.51} over {R_e .sqrt(%lambda)} )

Où :

ε : la rugosité absolue équivalente de la paroi en mm,

D : le diamètre de la conduite en mm.

##### Exemple :

Le tableau IV.1 montre les valeurs de rugosités équivalentes pour quelques types de conduites couramment utilisées :

Tableau IV. 1. Valeurs de rugosité équivalentes de quelques types de conduites | Informations[4]

Les équations (IV-9) et (IV-11) sont des équations non-linéaires qui peuvent être résolues numériquement par des méthodes itératives comme le point fixe :

1 ( λ i + 1 ) = − 2. log ( ε 3,7. D + 2.51 R e . ( λ i ) ) {1} over {sqrt( %lambda_{i+1})} =-2.log( { %varepsilon } over {3,7.D} + {2.51} over {R_e .sqrt( %lambda_{i})} )

On arrête les calculs dès que les valeurs des λi et λi+1 sont très proches.

#### Diagramme de Moody-Stanton

Le diagramme de Moody[1]-Stanton représente le coefficient de perte de charge linéaire de Darcy-Weisbach, λ, des conduites en fonction du nombre de Reynolds et la rugosité relative (ε/D) (voir la figure IV.8). Il est permet de calculer le coefficient de perte de charge linéaire dans une conduite circulaire. Le diagramme de Moody montre que :

1. Si l’écoulement est laminaire :

   a) Le coefficient λ, est indépendant de ε/D de la paroi voir l’équation (IV-8)

   b) Le coefficient λ, est diminué avec l’augmentation du nombre de Reynolds.

2. Si l’écoulement est turbulent et la paroi est lisse :

   a) La rugosité relative de la paroi est zéro (ε/D = 0),

   b) Le coefficient λ, est faible, mais n’est pas nul (il existe toujours des pertes de charge).

3. Si le nombre de Reynolds est très grand :

   a) Le coefficient λ, est indépendant du nombre de Reynolds voir l’équation (IV-10).

   b) Le régime est appelé écoulement complètement turbulent.

Figure IV. 8. Diagramme de Moody-Stanton | Informations[5]

### Pertes de charges singulières

La perte de charge (ou l’énergie) singulière ΔHs qui est due aux différents éléments de construction et aux obstacles locaux dans les conduites. Elle est engendrée par le changement de la direction ou de la valeur de vitesse du fluide et lorsque des dispositifs (codes, vannes, …) sont disposés sur la trajectoire d’écoulement. Cette perte de charge comprend plusieurs cas tels que : Élargissement ou rétrécissement brusque de conduite, Entrée ou sortie dans un réservoir, Coude, Branchement, dérivation, Diffuseur ou confiseur conique, Robinet, Vanne, Crépine, ...

Les pertes de charges singulières sont calculées par la relation suivante :

Δ H s = k . U 2 2. g %DELTA H_s=k. {U^2} over {2.g}

Où :

k : le coefficient de perte de charge singulière, sa valeur de k est vairée en fonction du type de singularité.

#### Exemple d’élargissement brusque

On considère un fluide s’écoule à travers une conduite qui a un élargissement brusque. Deux sections dans la conduite (1-1) et (2-2) situées avant et après l'élargissement respectivement comme le montre la figure IV.9.

Figure IV. 9. Élargissement brusque dans une conduite circulaire | Informations[6]

Selon [ (1)] le coefficient de perte de charge singulière d’un élargissement brusque dans une conduite circulaire est calculé par :

Δ H s = ( U 1 2 − U 2 2 ) 2 2. g = U 1 2 2. g . ( 1 − A 1 A 2 ) 2 = k . U 1 2 2. g k = ( 1 − A 1 A 2 ) 2 binom{%DELTA H_s=({U_1^2-U_2^2})^2 over {2.g} ={U_1^2}over {2.g}.( 1-{A_1} over {A_2} )^2=k.U_1^2 over {2.g} }{k=(1- {A_1} over {A_2} )^2}

#### Quelques valeurs de coefficient de pertes de charges singulières

##### Exemple :

Le tableau IV.2 présente quelques valeurs de coefficient de perte de charge singulière, k pour des dispositifs et des géométries couramment utilisés.

Réservoir entrée | Informations[7]

Entrée brusque dans une conduite qui relié à un grand réservoir :

k = 0.5

code | Informations[8]

Code arrondi

k = 0.75

## Notes

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